Análise e aplicações do operador laplaciano em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas: teoria, derivação e soluções para equações diferenciais parciais em geometrias não cartesianas

Abstract

O operador Laplaciano é uma ferramenta matemática central em diversas áreas da física e da engenharia, figurando em equações fundamentais como as de Laplace, Poisson e a equação de onda. Contudo, sua apresentação em sistemas de coordenadas não cartesianas é frequentemente abordada no ensino superior como uma fórmula pronta, omitindo-se a dedução matemática que a origina e, consequentemente, limitando a uma compreensão superficial por parte dos estudantes. Este trabalho teve como objetivo principal preencher essa lacuna pedagógica, oferecendo uma análise sistemática e detalhada da derivação do operador Laplaciano em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. A metodologia empregada partiu de uma revisão bibliográfica de obras canônicas da física-matemática, seguida pela dedução rigorosa das expressões do operador através da aplicação da regra da cadeia para transformações de coordenadas. Subsequentemente, a utilidade prática das expressões deduzidas foi demonstrada pela aplicação na resolução de problemas clássicos da física, como o cálculo do potencial eletrostático e gravitacional em sistemas com simetria circular, axial e esférica. Os resultados evidenciaram que a escolha de um sistema de coordenadas compatível com a geometria do problema simplifica drasticamente a solução de equações diferenciais parciais complexas. Concluímos então que uma abordagem focada na dedução, em vez da memorização, promove uma compreensão mais profunda da íntima relação entre a simetria física de um sistema e a estrutura da ferramenta matemática necessária para descrevê-lo, reforçando a importância do raciocínio analítico no ensino de ciências e matemática.