A equação de Pell e suas aplicações para a resolução de equações diofantinas

Abstract

No contexto educacional atual, percebe-se que o ensino das equações diofantinas muitas vezes se restringe ao estudo daquelas que são lineares, dessa forma, não sendo abordado as possibilidades que as equações diofantinas não lineares, em particular a Equação de Pell, pode apresentar para resolução de problemas diofantinos mais complexos, os quais frequentemente aparecem em olimpíadas de matemática. A Equação de Pell, tema deste trabalho, é um caso particular de equação diofantina não linear cuja forma é denotada por x² − Dy² = 1, onde D é um inteiro positivo que não é quadrado perfeito. Em vista disso, o presente trabalho tem como objetivo, apresentar um estudo sobre a Equação de Pell com ênfase no processo de resolução desta equação, bem como evidenciar algumas aplicações e potencialidades da teoria da Equação de Pell para a resolução de outros tipos de equações diofantinas. Dessa forma, para atingir os objetivos propostos, recorremos à realização de uma pesquisa qualitativa de carácter exploratório, onde foram expostos os principais resultados teóricos que envolvem a resolução da Equação de Pell. Diante disso, verificamos que esta equação admite infinitas soluções inteiras, sendo assim apresentada uma fórmula explícita para obtenção de todas as suas soluções. Ademais, ao longo desta monografia, identificamos algumas aplicações da Equação de Pell para a resolução de diferentes tipos de equações diofantinas não lineares, onde foram resolvidas as equações: x² −6xy +y² = 1, a² +(a+1)² = c² e x4 +z³ = t², nesse processo, ficou evidente que o uso dos resultados teóricos relativos à Equação de Pell facilitou a resolução desses problemas. Por fim, exibimos um método amparado na teoria da Equação de Pell, para encontrar explicitamente todos os números triangulares que são quadrados perfeitos.