Números complexos: da dúvida da existência no passado para uma realidade no presente

Abstract

Este trabalho tem como objetivo investigar o universo dos números complexos em suas aplicações, sua história e quais são seus principais fundamentos. Demonstrando como essa construção matemática que era abstrata se revela essencial tanto para o desenvolvimento da teoria da matemática quanto para avanços tecnológicos. A pesquisa inicia com uma análise dos números complexos, mostrando sua representação algébrica na forma 𝑎 + 𝑏𝑖 e suas propriedades operacionais, destacando como a introdução da unidade imaginária 𝑖, definida pela propriedade 𝑖² = −1, permitiu o avanço do conceito de número e a solução de equações que antes eram consideradas impossíveis de se resolver. Na história, o trabalho traz a trajetória dos números complexos desde seus primeiros estudos nas obras de matemáticos renascentistas como Gerolamo Cardano e Rafael Bombelli, passando pelas contribuições importantes de Leonhard Euler que estabeleceu a notação moderna, até a consolidação no século XIX com Carl Friedrich Gauss que lhe deu status de objeto matemático legítimo através de representações geométricas no plano complexo. A investigação então se volta para as aplicações práticas desses números em diversas áreas, demonstrando seu papel transformador onde são indispensáveis na matemática moderna, com estudos em outras áreas. Na matemática pura, o trabalho explora como os números complexos permitiram a demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra e se tornaram ferramentas essenciais em análise complexa, como o conjunto de Mandelbrot que revelam padrões geométricos surpreendentes. As conclusões reforçam que os números complexos representam muito mais que uma mera curiosidade matemática, constituindo-se em uma das construções intelectuais mais incríveis da história da ciência, cuja utilidade prática só se tornou plenamente evidentes séculos após sua descoberta, servindo como testemunho do poder da abstração matemática e da importância para estudos de alunos da graduação, quanto alunos do ensino médio. Mostrando por fim a forma Polar e as duas formulas de De Moivre, e como facilitou cálculos que seriam bem mais profundos.